数列通项公式总结

1. $a_{n+1}=a_{n}+d$ 型

等差数列，略

2. $a_{n+1}=q \cdot a_n$ 型

等比数列，略

3. 累加法

常见形式为 $a_{n+1}=a_n+f(n)$，且$f(n)$的前n项和易求得（比如等差、等比、差比、裂项等）
有：

$$a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\ldots +(a_2-a_1)=f(n-1)+f(n-2)+\ldots+f(1), (n \geq 2)$$

4. 累乘法

常见形式为：

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$$

有：

$$a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \ldots \cdot \frac{a_2}{a_1} =f(n-1)\cdot f(n-2) \cdot \ldots \cdot f(1)$$

5. $a_{n+1}=p \cdot a_n + q$ 型

核心思想：构造等比数列
方法一：待定系数法
在等式两边加同一个常数，使得等式两边成等比数列：

$$a_{n+1}+k = p \cdot a_n + q+k$$

待定系数法确定k值，有：

$$\frac{k}{1}=\frac{q+k}{p}$$

解得：

$$k=\frac{q}{p-1}$$

带回递推式：

$$a_{n+1}+\frac{q}{p-1} = p \cdot a_n + \frac{pq}{p-1}=p \cdot (a_n+\frac{q}{p-1})$$

令数列$b_n=a_n+\frac{q}{p-1}$,得

$$b_{n+1}=p \cdot b_n$$

转化为等比数列求解即可

方法二：逐项相减法
有：

$$a_{n+1}=p \cdot a_n + q\\\\a_{n}=p \cdot a_{n-1} + q$$

两式相减可得：

$$a_{n+1}-a_n=p \cdot (a_n-a_{n-1}),n\geq 2$$

令数列 $b_n=a_n-a_{n-1},n\geq 2$,有：

$$b_{n+1}=p\cdot b_n$$

转化为等比数列求解即可
特别地，$p=1$时，k 值不存在，但是此时递推式直接退化为等差数列。

6. $a_{n+1}=pa_n+kn+b$ 型

方法一：逐项相减法
有：

$$a_{n+1}=pa_n+kn+b\\\\ a_n=pa_{n-1}+k(n-1)+b$$

两式相减得：

$$a_{n+1}-a_n=p(a_n-a_{n-1})+k,n\geq 2$$

令 $b_n=a_n-a_{n-1},n\geq 2$，有：

$$b_{n+1}=pb_n+k$$

转化成$a_{n+1}=p \cdot a_n + q$ 型求解即可。

方法二：待定系数法
此方法的思路依旧是构造等比数列。
在等式两边同时加一项 $x(n+1)+y$，得：

$$a_{n+1}+x(n+1)+y=pa_n+(x+k)n+x+y+b$$

对应项成比例，有：

$$x+k=px\\\\x+y+b=py$$

解得：

$$x=\frac{k}{p-1}\\\\y=\frac{k}{(p-1)^2}+\frac{b}{p-1}$$

带回原式：

$$a_{n+1}+\frac{k}{p-1}(n+1)+\frac{k+bp-b}{(p-1)^2}=pa_n+\frac{pk}{p-1}n+\frac{pk+bp^2-bp}{(p-1)^2}$$

令$b_n=a_{n}+\frac{k}{p-1}n+\frac{k+bp-b}{(p-1)^2}$，得：

$$b_{n+1}=pb_n$$

转化为等比数列即可。

7. $a_{n+1} = p \cdot a_n + q \cdot m^n$ 型

核心思想：构造等比数列

方法一：
在等式两边同时除以 $m^{n+1}$ 得：

$$\frac{a_{n+1}}{m^{n+1}}=p \cdot \frac{a_n}{m^n} + \frac{q}{m}$$

令数列$b_n=\frac{a_n}{m^n}$,那么：

$$b_{n+1}=p \cdot b_n + \frac{q}{m}$$

即转化为$a_{n+1}=p \cdot a_n + q$ 型

方法二：
类似第三种$a_{n+1}=p \cdot a_n + q$ 型，在等式两边同时加一项 $k \cdot m^{n+1}$，得：

$$a_{n+1} + k \cdot m^{n+1} = p \cdot a_n + (q+km)\cdot m^n$$

等比数列需要指数项和数列项成比例， 由待定系数法确定 k 值：

$$\frac{k}{1}=\frac{q+km}{p}$$

解得

$$k = \frac{q}{p-m}$$

带回递推式

$$a_{n+1} + \frac{q}{p-m} \cdot q^{n+1} = p \cdot a_n + (q+\frac{q}{p-m}m)\cdot q^n= p \cdot (a_n+ \frac{q}{p-m} \cdot q^{n})$$

令数列$b_n=a_n+ \frac{q}{p-m} \cdot q^{n}$，那么;

$$b_{n+1}=p \cdot b_n$$

即转化为等比数列

8. $a_{n+1}=pa^q_n$ 型

见到指数型，取对数

$$lga_{n+1}=q\cdot lga_n + lgp$$

令数列$b_n=lga_n$，有：

$$b_{n+1}=qb_n+lgp$$

这依然是$a_{n+1}=p \cdot a_n + q$ 型，求解即可。

9. $a_{n+1}=\frac{a\cdot a_n}{b\cdot a_n+c}$型

倒数法
两边取倒数：

$$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{b}{a}\cdot \frac{1}{a_n}+\frac{c}{a}$$

令数列$b_n=\frac{1}{a_n}$，有：

$$b_{n+1}=\frac{b}{a}\cdot b_n+\frac{c}{a}$$

即转化为$a_{n+1}=p \cdot a_n + q$ 型

10. $a_{n+1}=\frac{a\cdot a_n+b}{c\cdot a_n+d}$型

方法一：待定系数法
受到上一种类型的启发，是否可以构造一个数列，使得该问题可以转化为上一种类型的问题？
两边同时加常数k：

$$a_{n+1}+k=\frac{(a+ck)\cdot a_n+(b+dk)}{c\cdot a_n+d} （1）$$

想要取倒数之后，可以用另一个数列来换元，就需要右侧分子和左侧对应系数成比例：

$$\frac{k}{1}=\frac{b+dk}{a+ck}$$

这是一个关于k的一元二次方程，分下面两种情况：

1. 若k有解，那么把k带入（1）式，再取倒数，对右侧进行分离常数，即可转化为$a_{n+1}=\frac{a\cdot a_n}{b\cdot a_n+c}$ 型；
2. 若k无解，那么数列$\{a_n\}$是周期数列。

方法二：不动点法（了解）
不动点的定义为：满足$f(x_0)=x_0$的值$x_0$称为函数$f(x)$的不动点。
对于数列递推式$a_{n+1}=\frac{a\cdot a_n+b}{c\cdot a_n+d}$，把数列项全部换成x，有：

$$x=\frac{ax+b}{cx+d}$$

这是关于x的一元二次方程，会发现它和方法一中待定系数方程一样。这里详细地说一下它的解对数列的影响：

1. 若方程有两个解 $\lambda$、$\mu$,那么数列$\{\frac{a_n-\lambda}{a_n-\mu}\}$为等比数列；
2. 若方程有唯一解 $\lambda$，那么数列$\{\frac{1}{a_n-\lambda}\}$为等差数列；
3. 若方程无解，那么数列$\{a_n\}$是周期数列。

该方法可以当做一个技巧去记忆，但是切记不可以钻牛角尖；在平时做题你会看到很多形如$a_{n+1}=\frac{a\cdot a_n+b}{c\cdot a_n+d}$的递推式，但是多数情况并不需要求它的递推式，尤其在小题中，可以使用不动点法判断$\{a_n\}$是否为周期数列，否则不要把该方法当成第一考虑的方法。